Родился 7 марта 1920 г. в с. Знаменка (ныне одноименный райцентр). Рос без отца, восьмым ребёнком в бедной крестьянской семье. В 1932 г. переехал в Тамбов к родственникам. Окончил среднюю школу № 1 г. Тамбова и поступил в 1-й Московский медицинский институт (1937). Оттуда в 1939 г. его призвали в ряды Красной Армии и направили в Эстонию, где его застала Великая Отечественная война. В сентябре 1941 г. при попытке прорваться из окружённого Таллина к Ленинграду был схвачен эстонскими фашистами. В плену, в 1943 г., из-за начавшейся гангрены ему ампутировали руку. В сентябре 1944 г. он совершил побег из плена и возвратился в Тамбов.
В ноябре 1944 г. А. И. Сапогов поступил на работу в Тамбовскую областную библиотеку им. А. С. Пушкина, где трудился всю свою жизнь (до 2002 г.). В библиотеке занимал должности: библиографа, заведующего отделом обработки, научно-методическим отделом, заместителя директора по научной работе. Заочно окончил Московский библиотечный институт с отличием (1950). Преподавал в Тамбовском культурно-просветительском училище, в Тамбовском филиале Московского государственного института культуры.
На должность заведующего сектором редких и ценных книг и литературы специального хранения Александр Ильич был утверждён в ноябре 1985 г., но ещё с середины 1960-х гг. он начал собирать книжные печатные памятники. Поддерживал постоянную связь с книголюбами, продавцами-букинистами. Так, благодаря А. И. Сапогову, появились в Тамбове три тома «Собрание сочинений Вольтера» (1791–1793), напечатанные в типографии И. Г. Рахманинова в с. Казинка (Козловский уезд, Тамбовская губ.), прижизненное издание семи глав романа «Евгений Онегин» А. С. Пушкина (1825–1830), «Псалтырь» Ивана Фёдорова (1580), «Дневник» А. А. Олениной (Париж, 1937) и другие редчайшие экземпляры. А. И. Сапогов изучал книжные фонды, историю бытования книг и книжных коллекций. Он выявил и выделил в фонде библиотеки коллекции книг из личных библиотек Г. Р. Державина, Д. В. Поленова, Л. А. Воейкова, А. Д. Хвощинского, А. П. Кугушева, А. Н. Норцова и других выдающихся людей нашего края. Большую часть своей домашней библиотеки книговедческой и библиотековедческой тематики, книги 112 серии «Библиотека всемирной литературы» и другие Александр Ильич лично передал в фонд областной библиотеки им. А. С. Пушкина.
Он являлся автором многих публикаций в профессиональной печати и периодических изданиях. Следует отметить наиболее яркие и удачные публикации Александра Ильича, которые впервые были опубликованы в газете «Тамбовская правда» (с 1991 г. — «Тамбовская жизнь»). Это — «Личные книги Державина», «Державин начинал так…», «Обнаружен автограф Н. А. Львова на книге, принадлежавшей Гавриле Державину, «Первое печатное издание «Слова о полку Игореве», «Первый морской устав России» и другие. Он стремился раскрыть книжные сокровища Тамбова, прежде всего перед своими земляками. В 1993 г выходит в свет главный труд А. И. Сапогова — каталог «Русская книга первой четверти XIX века (в фондах сектора редкой книги)». В нём содержится 725 описаний книг и 62 названий периодических изданий.
Работа Александра Ильича с редкой книгой в Тамбовской области стала, фактически, залогом и основой для участия областной библиотеки в национальной программе «Сохранение библиотечных фондов Российской Федерации» в качестве регионального центра свода книжных памятников Тамбовской области.
В течение 1975–1979 гг. А. И. Сапогов возглавлял «Клуб любителей книги» при Пушкинской библиотеке. Членами клуба были сотрудники библиотеки, краеведческого музея, Государственного архива Тамбовской области, историки, краеведы, — все те, кого объединяло одно общее увлечение — любовь к книге. К каждому заседанию издавалась брошюра с тезисами сообщений членов клуба.
Александр Ильич Сапогов — личность уникальная для библиотечного сообщества не только Тамбовской области, но и России. Он был человеком, бесконечно влюблённым в дело всей своей жизни — Книгу. Прожив нелёгкую жизнь, он до последних своих дней не утратил интереса к жизни и к любимой работе.
За многочисленные заслуги награждён орденами «Знак Почёта», Отечественной войны I и II степени. А. И. Сапогов скончался 19 ноября 2008 г. Похоронен в Тамбове.
